Corson-like compacta and related function spaces

Zwartość zawsze odgrywała ważną rolę w analizie. Jedną z najbardziej znanych klas przestrzeni zwartych o korzeniach w analizie funkcjonalnej jest klasa przestrzeni zwartych Eberleina tzn. słabo zwartych podzbiorów przestrzeni Banacha. Ważnym rozszerzeniem tej klasy jest klasa przestrzeni zwartych Corsona tzn przestrzeni zwartych homeomorficznych z podzbiorem Σ produktu prostych rzeczywistych (zob. [HNV]). Przez dekady obie te klasy były objektem badań licznych matematyków z wielu ośrod ków naukowych na świecie. Rozprawa jest głównie poświęcona badaniu klas przestrzeni zwartych κ-Corsona, które są uogólnieniem przestrzeni zwartych Corsona (przestrzeń kompaktów Corsona pokrywa się z klasą przestrzeni zwartych ω1-Corsona) oraz pewną podklasą przestrzeni zwartych Eberleina-klasą przestrzeni zwartych NY. Dla dowolnej nieskończonej liczby kardynalnej κ przestrzenie zwarte κ-Corsona zostały po raz pierwszy badane przez Kalendę [Ka2] oraz w [BM] (gdzie terminolo gia była nieco inna). Próbując je systematycznie zbadać, szybko okazuje się się, że przypadek κ = ω jest dość szczególny. Z kolei dla regularnych, nieprzeliczalnych liczb kardynalnych κ istnieje szereg własności zwartych κ-Corsona, które można uznać za naturalne uogólnienia znanych cech zwykłych przestrzeni zwartych Corsona. W sekc jach 2.2–2.4 badamy przestrzenie zwarte ω-Corsona i szerszą, nieco bardziej naturalną, klasę przestrzeni zwartych NY , po raz pierwszy badaną przez Nakhmansona i Yakovleva [NY]. W rozdziale 2, rozszerzając wyniki z [NY], podajemy wewnętrzne charakteryza cje przestrzeni zwartych ω-Corsona (Twierdzenie 2.3.6) i przestrzeni zwartych NY (Twierdzenie 2.3.1). Omawiamy stabilność tych klas przestrzeni zwartych przy braniu przeliczalnych iloczynów kartezjańskich (Wniosek 2.4.2), ciągłych obrazów (Wniosek 2.4.3) i funktorze P, który przypisuje zwartej przestrzeni K zwartą przestrzeń P(K) borelowskich regularnych miar probabilistycznych wyposażonych w słabą wstecz topologię (Uwaga 2.4.11). W [NY] udowodniono, że wszystkie przestrzenie zwarte NY są dziedz icznie metazwarte, w sekcji 2.4 badamy tę własność pokryciową dla przestrzeni zwartych Eberleina nienależących do klasy przestrzeni zwartych NY (Przykład 2.4.5, Twierdzenie 2.4.9). W sekcji 2.5 pokazujemy, że pytanie, dla których nieskończonych liczb kardynal nych κ, klasa przestrzeni zwartych κ-Corsona jest zachowywana przez funktor P, jest naturalnie związane z pojęciem kalibru miar (więc jest, zazwyczaj, nierozstrzygalne w zwykłej teorii mnogości). Wyniki przedstawione w Rozdziale 2 pochodzą z artykułu [MPZ]. W rozdziale 3 rozważamy przestrzenie rzeczywistych funkcji ciągłych Cp(K) na pewnych przestrzeniach zwartych K. W teorii przestrzeni funkcyjnych istnieje wiele twierdzeń odpowiadających na pytania następującego typu: Załóżmy, że mamy dane przestrzenie X i Y oraz własność topologiczną P. Załóżmy ponadto, że przestrze nie funkcyjne Cp(X) i Cp(Y ) są (liniowo) homeomorficzne. Czy prawdą jest, że jeśli przestrzeń X ma własność P, to przestrzeń Y również musi mieć tę własność? Istnieje wiele własności topologicznych, dla których odpowiedź na takie pytanie jest twierdząca. Nieco lepszy rodzaj takich twierdzeń charakteryzuje daną własność topologiczną P przestrzeni X w terminach własności przestrzeni funkcyjnej Cp(X). W tym rozdziale przedstawimy wyniki obu rodzai. Sekcja 3.2 zawiera dowód twierdzenia 3.2.11 stwierdzającego, że dla przestrzeni σ zwartych X i Y , gdzie X jest silnie przeliczalnie wymiarowy, jeśli przestrzenie funkcyjne Cp(X) i Cp(Y ) są liniowo homeomorficzne, to Y również jest silnie przeliczalnie wymi arowa. Badamy również przypadek, gdy przestrzeń X jest skończenie wymiarowa (twierdzenie 3.2.12). W sekcji 3.3 pokazujemy, że klasa przestrzeni zwartych NY jest niezmiennicza wzglę dem liniowych homeomorfizmów przestrzeni funkcyjnych. W rzeczywistości dowodz imy kilku nieco bardziej ogólnych twierdzeń (twierdzenia 3.3.9, 3.3.11, 3.3.12). Os tatnio wyniki te zostały udoskonalone przez Krupskiego i Avilésa. Udowodnili oni, że klasa przestrzeni zwartych NY jest zachowywana przez homeomorfizmy przestrzeni funkcyjnych [AK]. Podajemy również przykład przestrzeni zwartej K i przestrzeni zwartej ω-Corsona L takiej, że Cp(K) jest liniowo homeomorficzna z liniową pod przestrzenią Cp(L), ale K nie jest przestrzenią zwarta Eberleina (Przykład 3.3.13). Sekcja 3.4 poświęcona jest dowodowi charakteryzacji (Twierdzenie 3.4.8) przestrzeni zwartych κ-Corsona K w terminach własności topologicznych przestrzeni funkcyjnych Cp(K) dla regularnych nieprzeliczalnych liczb kardynalnych κ, co rozszerza wyniki Pola [P] oraz Bella i Marciszewskiego [BM]. Ponadto, wykorzystując wyniki z rozdziałów 2 i 3, pokazujemy, że klasa przestrzeni zwartych ω-Corsona K jest niezmiennicza wzglę dem liniowych homeomorfizmów przestrzeni funkcyjnych Cp(K) (Twierdzenie 3.4.14). W ostatniej części rozdziału 3 omawiamy stabilność przestrzeni zwartych κ-Corsona K względem izomorfizmów przestrzeni Banacha C(K). Twierdzenia omawiane w tej części pochodzą z pracy [MPZ]. Wyniki przedstawione w pozostałej części rozdziału 3 pochodzą z artykułu [Za] i zostały częściowo ogłoszone oraz omówione w [MPZ]. W pierwszej części ostatniego rozdziału omawiamy dwa wyniki dotyczące ciągłych operatorów liniowych pomiędzy ogólnymi lokalnie wypukłymi przestrzeniami liniowo topologicznymi. Pokazujemy, że każdy operator otwarty jest zawsze słabo otwarty (Wniosek 4.1.5). Przedstawiamy również twierdzenie uogólniające dobrze znane twierdze nie Banacha o przekształceniach domkniętych do przekształceń między lokalnie wy pukłymi przestrzeniami liniowo topologicznymi (Twierdzenie 4.1.7). W drugiej części pokazujemy, że c0-produkt przestrzeni funkcyjnych zdefiniowanych na przestrzeni pseudozwartej jest zawsze homeomorficzny ze swoją przeliczalną potęgą (Twierdzenie 4.2.3). To twierdzenie uogólnia twierdzenie Gul’ko i Khmylevy, stwierdza jące, że przestrzeń c0 ciągów zbieżnych do 0, wyposażona w topologię zbieżności punk towej, jest homeomorficzna ze swoją przeliczalną potęgą.

Compactness has always played an important role in analysis. One of the most well known classes of compact spaces with roots in functional analysis is the class of Eberlein compact spaces, i.e. weakly compact subsets of Banach spaces. An important extension of this class is the class of Corson compact spaces, i.e. compact spaces that can be embedded into Σ-products of Euclidean lines (see [Ne] and [AMN]). Both of these classes for decades have been the object of research by numerous mathematicians from many research centers around the world (see [HNV]). The thesis is mainly devoted to the study of the classes of κ-Corson compact spaces, which are a generalization of the notion of Corson compact space (the class of Corson compacta coincides with the class of ω1-Corson compacta), and a certain subclass of Eberlein compact spaces - the class of NY compact spaces. For arbitrary infinite cardinal number κ, κ-Corson compact spaces were first considered by Kalenda [Ka2] and in [BM] (where the terminology was slightly different). Trying to examine them system atically one discovers quickly that the case κ = ω is quite special. In turn, for regular, uncountable cardinal numbers κ, there is a number of properties of κ-Corson compacta that may be seen as natural analogues of known features of the usual Corson compact spaces. In Sections 2.2 – 2.4 we investigate ω-Corson compacta and a wider, somewhat more natural, class of NY compacta, first considered by Nakhmanson and Yakovlev [NY]. In Chapter 2, extending results from [NY], we give internal characterizations of ω-Corson compacta (Theorem 2.3.6) and of NY compacta (Theorem 2.3.1). We discuss the stability of these classes of compacta under countable products (Corollary 2.4.2), continuous images (Corollary 2.4.3), and the functor P which assigns to a compact space K the compact space P(K) of regular probability Borel measures equipped with the weak∗ topology (Remark 2.4.11). In [NY] it was proved that all NY compacta are hereditarily metacompact, in Section 2.4 we investigate this covering property for Eberlein compacta not belonging to the class of NY compact spaces (Example 2.4.5, Theorem 2.4.9). In Section 2.5 we show that the question, for which infinite cardinal numbers κ, the class of κ Corson compact spaces is closed under the functor P is naturally related to the notion of a caliber of measures (so is, typically, undecidable in the usual set theory). Results presented in Chapter 2 come from the article [MPZ]. In Chapter 3 we consider spaces of real continuous functions Cp(K) on some compact spaces K. In the theory of function spaces there are many theorems answering questions of the following type: Assume we are given spaces X and Y and a topological property P. Assume further that the function spaces Cp(X) and Cp(Y ) are (linearly) homeomorphic. Is it true that if a space X has the property P, then the space Y also must have this property ? There is a variety of topological properties for which the answer to such question is in the positive. Somewhat better type of such theorems characterise given topological property P of a space X in terms of properties of the function space Cp(X). In this chapter we will present results of both types. Section 3.2 contains a proof of Theorem 3.2.11 stating that, for σ-compact spaces X and Y , where X is strongly countable dimensional, if function spaces Cp(X) and Cp(Y ) are linearly homeomorphic, then Y is strongly countable dimensional as well. We also investigate the case when X is finite dimensional (Theorem 3.2.12). In Section 3.3 we show that the class of NY compact spaces is invariant under linear homeomor phisms of function spaces. In fact we prove several slightly more general theorems (Theorems 3.3.9, 3.3.11, 3.3.12). Recently these results were refined by Krupski and Avil´es. They proved that the class of NY compact spaces is preserved by homeomorphisms of function spaces [AK]. We also give an exam ple of a compact space K and a ω-Corson compact space L such that Cp(K) is linearly homeomorphic to a linear subspace of Cp(L) but K is not Eberlein compact (Example 3.3.13). Section 3.4 is devoted to the proof of a characterisation (Theorem 3.4.8) of κ-Corson compact spaces K in terms of topological properties of function spaces Cp(K) for regular uncountable cardinal numbers κ, which extends results of Pol [P] and Bell and Marciszewski [BM]. Additionally, using results from Chapters 2 and 3 we show that the class of ω-Corson compact spaces K is invariant under linear homeomorphisms of function spaces Cp(K) (Theorem 3.4.14). In the final section of Chapter 3 we discuss the stability of κ-Corson compacta K with respect to isomorphisms of Banach spaces C(K). Theorems discussed in this section come from [MPZ]. Results presented in the rest of Chapter 3 come from the article [Za], and were partially announced and discussed in [MPZ]. In the first part of the last chapter we discuss two results concerning continuous linear operators between general locally convex, linear topological spaces. We show that every open operator is always weakly open (Corollary 4.1.5). We also present a theorem generalising the well known Banach theorem about closed transformations to a general setting of locally convex spaces (Theorem 4.1.7). In the second part we show that c0-product of function spaces defined on a pseudocompact space is always homeomorphic to its countable power (Theorem 4.2.3). This theorem generalises theorem of Gul’ko and Khmyleva stating that the space c0 of sequences converging to 0, endowed with the pointwise convergence topology, is homeomorphic to its countable power.