Structured Population Models in Metric Spaces

Celem naukowym niniejszej rozprawy jest analiza matematyczna dynamiki modeli strukturalnych w przestrzeniach metrycznych. Modele strukturalne opisują ewolucję populacji organizmów, zróżnicowanej ze względu na wybrane cechy. Cechy te zależą od modelowanej populacji, mogą być to, między innymi, wiek lub rozmiar osobnika, dojrzałość pojedynczej komórki, stan jej zróżnicowania lub fenotyp. Przestrzenią metryczną, w której analizujemy równania dynamiki populacyjnej jest przestrzeń skończonych, nieujemnych miar Radona z metryką flat. Nasze wyniki dotyczą między innymi istnienia i jednoznaczności miarowych rozwiązań dla szerokiej klasy modeli ze strukturą. W szczególności, rozpatrujemy modele mające zastosowanie w demografii, biologii i epidemiologii. Otrzymane rezultaty gwarantują także stabilność rozwiązań względem współczynników modelu, co bezpośrednio przekłada się na możliwość tworzenia stabilnych schematów numerycznych. Budowa takich schematów, opartych na metodzie cząstek i algorytmie split-up oraz ich zastosowanie do wyżej wymienionych modeli jest istotnym elementem tejże rozprawy

The main goal of this thesis is the analysis of a wide class of structured population models in the space of finite, nonnegative Radon measures equipped with the flat metric. This framework allows a unified approach to a variety of problems providing them with basic well-posedness and stability results. The first result is the existence and uniqueness of measure valued solutions to the one-sex structured population model. A nonlinear semigroup is constructed here by means of the operator splitting algorithm. This technique allows to separate the differential operator from the integral one, which leads to a significant simplification of proofs. Concerning stability, the Lipschitz continuity of solutions with respect to the model coefficients is provided. The next analytical result is the well-posedness of the age-structured two-sex population model. Existence and uniqueness of the measure valued solutions is proved by the regularization technique as well as the stability estimates. A brief discussion on a marriage function, which is the main source of the nonlinearity in this model, is carried out and an example of the marriage function fitting into the considered framework is given. The second part of this thesis is devoted to a development of numerical methods for a particular class of one-sex structured population models. The first method is constructed through the splitting technique and corresponds with a current trend basing on a kinetic approach to the population dynamics problems. Separation of a semigroup induced by the transport operator from a semigroup induced by the nonlocal term allows to keep the solution as a sum of Dirac deltas despite of the regularizing character of the nonlocal boundary condition. As the next step, two alternative methods based on different approximations of the boundary condition are analyzed. These are the Escalator Boxcar Train algorithm and its simplification. Convergence of both methods is proved exploiting the concept of semiflows on metric spaces. Last but not least, the rate of convergence for all schemes mentioned above is provided.