Information geometric foundations of quantum theory

Tematem tej rozprawy jest nowe podejście do problemu matematycznych podstaw teorii kwantowej. W oparciu o niekomutatywną teorię całkowania oraz kwantową geometrię informacji, zaproponowana została konstrukcja nieliniowej kwantowej kinematyki i dynamiki, w której podstawową rolę odgrywają obiekty geometryczne i algebraiczne całkowicie niezależne od przestrzeni Hilberta. Punktem wyjścia pracy jest zdefiniowanie przestrzeni stanów kwantowych jako zbiorów dodatnich, skończonych, normalnych funkcjonałów na niekomutatywnych W*-algebrach, co stanowi kwantowe uogólnienie zbiorów skończonych dodatnich miar na lokalizowalnych algebrach Boole'a. Struktury geometryczne zostają wprowadzone poprzez dwupunktowe niesymetryczne funkcje odległości na tych przestrzeniach, będące uogólnieniem kwantowej względnej entropii. Rozmaite dodatkowe warunki nałożone na przestrzenie stanów i uogólnione entropie prowadzą do różnych specyficznych geometrii. W szczególności, przy odpowiednich warunkach różniczkowalności, uogólnione względne entropie determinują jednoznacznie riemannowską metrykę i parę afinicznych koneksji na przestrzeni stanów kwantowych. Szczególnie istotne, z punktu widzenia teorii informacji, są dwie klasy uogólnionych względnych entropii: entropie monotoniczne ze względu na całkowicie dodatnie liniowe odwzorowania przestrzeni stanów, oraz entropie spełniające uogólnione twierdzenie Pitagorasa. W pracy przeprowadzony jest szczegółowy przegląd znanych wyników dotyczących obydwu klas. Następnie zostaje skonstruowana, w oparciu o niekomutatywne przestrzenie Lp, kanoniczna rodzina uogólnionych kwantowych względnych entropii należących do przecięcia tych dwóch klas. Wynik ten uogólnia znane wcześniej konstrukcje do postaci niezależnej od wyboru reprezentacji. Prócz tego wykazane zostaje, że dla skończenie wymiarowej sytuacji otrzymana rodzina spełnia różniczkową wersję uogólnionego twierdzenia Pitagorasa, względem metryki i koneksji indukowanych przez te entropie. Zaproponowane w pracy podejście do kwantowej dynamiki wychodzi od pojęcia instrumentu, jako odwzorowania między dwoma przestrzeniami stanów, zależnego od zbioru parametrów kontrolnych. Rozważane są dwie klasy instrumentów: aktywne i pasywne, mające za zadanie uogólnić role pełnione w standardowym formalizmie mechaniki kwantowej przez, odpowiednio, kwantowy pomiar oraz ewolucję unitarną. W roli nietrywialnego przykładu aktywnych instrumentów zaproponowane zostają nieliniowe odwzorowania maksymalizujące uogólnione kwantowe entropie z więzami. Instrumenty te są zinterpretowane jako kwantowe odpowiedniki procedur statystycznego wnioskowania. Pokazane zostaje, że, przy pewnych dodatkowych założeniach, instrumenty te determinują miary półspektralne reprezentujące wyniki pomiarów, co stanowi odpowiednik tejże własności posiadanej przez całkowicie dodatnie liniowe instrumenty rozważane w standardowej kwantowej teorii informacji. Ponadto, przy pewnych dodatkowych warunkach, nośnikami tych miar są stany odpowiadające sektorom superselekcji zadanym przez jednoznacznie określoną komutatywną algebrę, co rozwiązuje problem wyboru `preferowanej' bazy w przestrzeni Hilberta związanej z opisem wyników pomiaru. Ponadto udowodnione zostaje, że standardowy kwantowomechaniczny opis pomiaru przy pomocy reguły von Neumanna-Lüdersa jest szczególnym przypadkiem entropowego instrumentu. Wynik ten stanowi kwantowy odpowiednik wyprowadzenia reguły Bayesa jako szczególnego przypadku maksymalizacji względnej entropii z więzami. Punktem wyjścia do dyskusji nietrywialnych przykładów nieliniowych pasywnych instrumentów jest rozpatrzenie uogólnienia struktury symplektycznej na rozmaitośc stanów kwantowych, indukowanej przez komutator niekomutatywnej W*-algebry. Scharakteryzowana zostaje klasa instrumentów, które są predualizacją jednoparametrowych słabo-* ciągłych, ale niekoniecznie unitarnych, grup automorfizmów W*-algebr, oraz determinują hamiltonowskie pola wektorowe na przestrzeniach stanów. Następnie zostaje pokazane w jaki sposób struktury geometryczne na przestrzeni stanów mogą zostać wyrażone pod postacią operatorów działających na włóknach wiązki przestrzeni Hilberta nad nią. W szczególności, skonstruowane zostają zależne od czasu wielopunktowe funkcje korelacji uwzględniające poprawki do unitarnej ewolucji pochodzące od struktury geometrycznej przestrzeni stanów, a także klasa pasywnych instrumentów reprezentujących tę ewolucję. Konstrukcja ta opiera się na teorii nieograniczonych perturbacji nieograniczonych generatorów unitarnych ewolucji reprezentujących jednoparametrowe automorfizmy W*-algebr. Prócz tego, zanalizowano w jakim sensie i w jaki sposób kwantowomechaniczne pojęcie zależnej od czasu amplitudy przejścia daje się wyrazic i uogólnic w ramach badanego podejścia. Wstępnej dyskusji poddane są także możliwości nieperturbacyjnego sformułowania renormalizacji modeli kwantowej dynamiki opartej o kwantową geometrię przestrzeni stanów. W pracy zaproponowana została też procedura konstrukcji czasoprzestrzeni jako `emergentnych' obiektów, otrzymywanych bezpośrednio z geometrii przestrzeni stanów kwantowych. Procedura ta opiera się na transformacji kwantowej riemannowskiej metryki do postaci lorentzowskiej poprzez `zespolony obrót' względem globalnego pola wektorowego ewolucji czasowej zadanej pasywnym instrumentem. W roli nietrywialnego (choc posiadającego pewne ograniczenia) modelu, skonstruowana zostaje przestrzeń stanów kwantowych, która odtwarza czasoprzestrzeń Schwarzschilda. Osobny rozdział pracy poświęcony jest dyskusji znaczenia pojęciowego badanych struktur matematycznych i otrzymanych wyników, w oparciu o aparat pojęciowy teorii informacji, teorii prawdopodobieństwa, oraz teorii wnioskowania statystycznego w ujęciu bayesowskim. Szeroko przedyskutowane zostały związki i różnice zaproponowanego podejścia z podejściami: standardowym (opartym na przestrzeniach Hilberta), logiczno-algebraicznym (opartym na częściowych porządkach z ortokomplementacją), algebraicznym (opartym na C*-algebrach), oraz operacyjnym (opartym na miarach półspektralnych). Przeprowadzone w pracy konstrukcje opierają się o szereg rezultatów otrzymanych w ostatnich kilkunastu latach w teorii algebr operatorów i w kwantowej geometrii informacji. Są to między innymi: konstrukcja kanonicznej teorii niekomutatywnego całkowania i niekomutatywnych przestrzeni Lp (Falcone-Takesaki), konstrukcja struktury rozmaitości Lie-Poissona na predualach W*-algebr (Odzijewicz-Ratiu), konstrukcja struktury gładkiej rozmaitości na stanach wiernych na dowolnych W*-algebrach oparta na niekomutatywnych przestrzeniach Orlicza (Jenčová), konstrukcja teorii perturbacji liouvilleanów przez nieograniczone operatory (Dereziński-Jakšić-Pillet), konstrukcja wiązki przestrzeni Hilberta nad predualami W*-algebr (Odzijewicz-Sliżewska). Niniejsza praca stanowi pierwsze ich zastosowanie w problemach podstaw teorii kwantowej i kwantowej geometrii. Rozprawa zawiera także obszerny dodatek zawierający systematyczne opracowanie pojęć i rezultatów teorii niekomutatywnego całkowania na W*-algebrach. Jest to jedyne takie opracowanie w literaturze przedmiotu, uwzględniające wiele rezultatów rozproszonych w trudno dostępnych publikacjach.

This thesis is concerned with a new approach to the mathematical foundations of quantum theory. On the basis of noncommutative integration theory and quantum information geometry, a construction of nonlinear quantum kinematics and dynamics is proposed, defined in terms of geometric and algebraic objects that are completely independent of Hilbert spaces. The starting point is the definition of spaces of quantum states as sets of positive, finite, normal functionals on noncommutative W*-algebras. These spaces form a quantum generalisation of sets of finite positive measures on localisable Boole algebras. Geometric structures are introduced by generalised quantum relative entropies, defined as two-point nonsymmetric functions of distance on spaces of quantum states. In particular, under suitable differentiability conditions, generalised relative entropies determine uniquely the corresponding riemannian metrics and pairs of affine connections on these spaces. Two classes of generalised relative entropies are especially important from the point of view of information theory, namely those which are monotone with respect to completely positive linear maps between state spaces, and those that satisfy the generalised pythagorean theorem. A detailed review of known results on these two classes is provided in this work. Next, using the noncommutative Lp spaces, a canonical family of generalised quantum relative entropies which belong to both classes is constructed. This result generalises earlier results to the form independent of the choice of representation. Moreover, it is shown that for the finite dimensional case, this family satisfies the smooth version of the generalised pythagorean theorem, with respect to the metrics and connections that are induced by these entropies. The approach to quantum dynamics proposed in this work starts with the notion of an instrument, understood as a map between two state spaces conditioned upon the set of control parameters. Two classes of instruments are considered: active and passive. Their goal is to generalise the roles that are played in the standard formalism of quantum mechanics by quantum measurement and unitary evolution, respectively. As a nontrivial example of active instruments, maps that maximise the constrained generalised relative entropies are considered. Such instruments are interpreted as quantum analogues of procedures of statistical inference. It is shown that, under some additional conditions, such instruments determine the semi-spectral measures representing the results of measurements. This is an analogue of the same property of completely positive linear instruments considered in the standard quantum information theory. Under some further conditions, these measures are supported by the states corresponding to superselection sectors that are specified by a uniquely determined commutative algebra. This solves the problem of choice of `preferred' Hilbert space basis associated with the description of measurement results. Moreover, it is proved that the standard quantum mechanical description of measurement in terms of the von Neumann-Lüders rule is a special case of the entropic instrument. This result is a quantum analogue of the derivation of Bayes' rule as a special case of the maximisation of relative entropy with constraints. The discussion of nontrivial examples of passive instruments starts by considering a generalisation of symplectic structure to the manifold of quantum states, induced by the commutator of noncommutative W*-algebra. A specific class of instruments, which are predualisations of such one-parameter weakly-* continuous, but not necessarily unitary, groups of automorphisms of W*-algebras that determine the hamiltonian vector fields on the state spaces, is characterised. Next, it is shown how the geometric structures on the state spaces can be expressed in terms of operators acting on the fibres of a Hilbert space bundle over a state space. In particular, the time-dependent multi-point correlation functions are constructed to include corrections to the unitary evolution which come from the geometric structure of the state space. The class of passive instruments representing this evolution is constructed too. These results are based on the theory of unbounded perturbations of unbounded generators of unitary evolutions that represent one-parameter automorphisms of W*-algebras. In addition, it is analysed in what sense and how the quantum mechanical notion of a time-dependent transition amplitude can be expressed and generalised in terms of the proposed approach. A preliminary discussion is also provided regarding the possibility of a nonperturbative formulation of the renormalisation of quantum dynamical models using the quantum geometry of state spaces. A procedure for constructing of space-times, understood as `emergent' objects, obtained directly from the geometry of quantum states, is also proposed. This procedure is based on the transformation of a quantum riemannian metric to a lorentzian form by a `complex rotation' with respect to a global vector field of a temporal evolution determined by a passive instrument. As a nontrivial (albeit somewhat restricted) model, a space of quantum states, which recovers the Schwarzschild space-time is constructed. A separate chapter is dedicated to the discussion of the conceptual meaning of mathematical structures and results that are considered and obtained in this work. The discussion is based on the conceptual framework of information theory, probability theory, and the bayesian approach to statistical inference theory. The relationships of the proposed approach to the standard (Hilbert space based), logico-algebraic (orthocomplemented poset based), algebraic (C*-algebra based) and operational (semi-spectral measure based) approaches are extensively studied. Constructions provided in this work are based on a number of results obtained in recent years in the theories of operator algebras and quantum information geometry. These include: construction of the canonical theory of noncommutative integration and noncommutative Lp spaces (Falcone-Takesaki), construction of the Lie-Poisson manifold structure on preduals of W*-algebras (Odzijewicz-Ratiu), construction of a smooth manifold structure on faithful state spaces over arbitrary W*-algebras based on noncommutative Orlicz spaces (Jenčová), construction of the theory of perturbation of liouvilleans by unbounded operators (Dereziński-Jakšić-Pillet), and construction of the bundle of Hilbert spaces over preduals of W*-algebras (Odzijewicz-Sliżewska). This work is their first application to the problems of foundations of quantum theory and quantum geometry. This thesis also includes an extensive appendix, which contains a systematic exposition of notions and results of the theory of noncommutative integration on W*-algebras. It is a unique elaboration of this research area, covering many results that are otherwise scattered across the literature of the subject.