The Gysin homomorphism for homogeneous spaces via residues

Przedmiotem niniejszej rozprawy jest homomorfizm Gysina w kohomologiach ekwiwariantnych dla przestrzeni z działaniem torusa. Rozważane są przestrzenie będące ilorazami klasycznych półprostych zespolonych liniowych grup algebraicznych przez podgrupę paraboliczną, wraz z naturalnym działaniem torusa maksymalnego, zwane inaczej przestrzeniami częściowych flag. Niniejsza rozprawa opisuje homomorfizm Gysina dla rzutowania na punkt za pomocą residuum z pewnej funkcji zespolonej wielu zmiennych, związanej z układem pierwiastków grupy. Wspomniany opis opiera się na uogólnieniach dwóch twierdzeń z geometrii symplektycznej, udowodnionych w pierwszej części rozprawy. Pierwszym z nich jest uogólnienie (w kontekście ekwiwariantnym dla działania torusa) twierdzenia Jeffrey--Kirwan o nieabelowej lokalizacji, drugim zaś twierdzenie wiążące kohomologie redukcji symplektyczniej przez zwartą grupę Liego z kohomologiami redukcji przez torus maksymalny w tej grupie, w sformułowaniu Martina. W drugiej części rozprawy uogólnione twierdzenia zostały użyte do redukcji symplektycznych pewnych przestrzeni ściągalnych z działaniem produktu grup unitarnych, w celu otrzymania wzorów opisujących homomorfizm Gysina dla przestrzeni częściowych flag typów A, B, C i D.

The subject of this dissertation is the Gysin homomorphism in equivariant cohomology for spaces with torus action. We consider spaces which are quotients of classical semisimple complex linear algebraic groups by a parabolic subgroup with the natural action of a maximal torus, the so-called partial flag varieties. We derive formulas for the Gysin homomorphism for the projection to a point, in the form for a certain residue operation applied to a certain complex variable map associated to the root system. The mentioned description relies on two following generalizations of theorems in symplectic geometry. We adapt to the equivariant setting (for torus actions) the Jeffrey--Kirwan nonabelian localization and a theorem relating the cohomology of symplectic reductions by a compact Lie group and by its maximal torus, following the approach by Martin. Applying the generalized theorems to certain contractible spaces acted upon by a product of unitary groups we derive the push-forward formula for partial flag varieties of types A, B, C and D.