Sharp weighted inequalities for martingales

Niniejsza rozprawa poświęcona jest zbadaniu nierówności słabego typu, silnego typu oraz nierówności maksymalnych dla transformat martyngałowych w kontekście ważonym. W szczególności interesują nas następujące dwa problemy: I. Zidentyfikowanie optymalnej zależności stałych od charakterystyki wagi; II. Uzyskanie wyników z wykorzystaniem metody Bellmana. Motywacją dla zbadania problemu I. są zastosowania w teorii równań różniczkowych cząstkowych. Wspomniana zależność od charakterystyki wagi jest powiązana z regularnością rozwiązań pewnych eliptycznych równań różniczkowych; jest ona również powiązana z optymalnością pewnych innych oszacowań. Powodem, dla którego istotna jest kwestia II. są nierówności bezwagowe, w których z powodzeniem korzystano z metody Bellmana w przeciągu ostatnich czterdziestu lat. Oczekujemy, że funkcje specjalne i argumentacja przedstawiona w rozprawie mogą zostać zastosowane także w badaniu pokrewnych problemów w rachunku prawdopodobieństwa i analizie harmonicznej. Należy podkreślić, że rozprawa jest miejscami dosyć techniczna. Nawet w prostszym przypadku bezwagowym, analiza pojawiających się funkcji specjalnych dwóch lub trzech zmiennych bywa złożona, co odzwierciedla wiele prac z tej dziedziny. Przejście do kontekstu ważonego dodaje dwie kolejne zmienne i sprawia, że dowody stają się bardzo skomplikowane. Czasami nie udało się nam uniknąć złożonych, technicznych rozważań, jednak w niektórych przypadkach dowód został znacząco uproszczony dzięki wykorzystaniu nowych konstrukcji i argumentów. Rozprawa jest zorganizowana w następujący sposób. Pierwszy rozdział ma wstępny charakter i zawiera motywację oraz niezbędne definicje. Główne wyniki są zamieszczone w Rozdziałach 2, 3, 4 oraz 5. Rozdział 2 poświęony jest analizie ważonych nierówności mocnego typu (p, p) dla transformat martyngałowych, gdzie 1 < p < ∞. Rozdział jest oparty na wynikach ze wspólnego artykułu z R. Bañuelosem i A. Osękowskim [5]. W Rozdziale 3 badamy ważone oszacowania słabego typu (p, p) dla transformat martyngałowych, gdzie 1 < p < ∞. Jest to najbardziej techniczna część rozprawy, analiza skonstruowanej funkcji Bellmana jest dość złożona i opiera się na precyzyjnej analizie rozmaitych macierzy 4 × 4. Wynik pochodzi ze wspólnej pracy z A. Osękowskim (w przygotowaniu). Rozdział 4 stanowi kontynuację Rozdziału 3 i zawiera analizę nierówności słabego typu (p, p) w przypadku krańcowym p = ∞. Zdecydowaliśmy się umieścić ten wynik w osobnym rozdziale, ponieważ zastosowana metoda różni się od tej w Rozdziale 3 i wykorzystuje pewne nowe złożenia/ekstrapolację za pomocą prostszych funkcji Bellmana. Rozdział opiera się na publikacji [12] napisanej wspólnie z A. Osękowskim. W ostatniej części pracy, Rozdziale 5, badamy ważoną nierówność maksymalną L1 dla transformat martyngałowych, którą można interpretować jako krańcowy przypadek wyniku z Rozdziału 2. Materiał zaczerpnięto z pracy [13].

The thesis is devoted to the study of weak-type, strong-type and maximal estimates for martingale transforms in the weighted context. We put a particular emphasis to the following two aspects of the subject: I. To identify the optimal dependence of the constants on Muckenhoupt's characteristics of the weights involved; II. To establish the results with the use of the Bellman function method. Our interest in I. stems from the applications in the PDEs. For example, the aforementioned dependence on the characteristic is related to the regularity of solutions to certain elliptic di erential equations; via extrapolation, this topic is also linked to sharpness of some other estimates. The motivation for II. comes from the unweighted setting, in which the Bellman function method has been developed very intensively during the last forty years. We expect that the special functions and the approach developed in the thesis can be applied in the study of related bounds in probability theory and harmonic analysis. It should be emphasized that the content of the thesis is quite technical. Even in the simpler unweighted setting the analysis of the special functions of two or three variables can be quite elaborate, as evidenced in many papers in the literature. The passage to the truly weighted context adds two extra variables to the picture and makes the calculations really involved at many places. In some cases these computations seem unavoidable, but for some estimates we manage to develop methods which enable signifcant simplifcation. The material is organized as follows. The next chapter has a preliminary character and contains some motivation, the description of the necessary background and notation. The main contribution has been placed in Chapters 2, 3, 4 and 5. Chapter 2 is concerned with the analysis of tight weighted strong-type (p, p) estimates (1 < p < ∞) for martingale transforms. The contents of this part is taken from the joint paper with R. Bañuelos and A. Osękowski [5]. Chapter 3 studies the tight weighted weak-type (p, p) estimates (1 < p < ∞) for martingale transforms. It is the most technical part of the thesis, the analysis of the Bellman function constructed there is quite intricate and rests on the careful investigation of appropriate 4×4 matrices. The material is taken from a joint work with A. Osękowski (in preparation). Chapter 4 is the continuation of Chapter 3 and contains the investigation of weighted weak-type (p, p) estimates in the endpoint case p = ∞. We have decided to insert the analysis in a separate chapter, since the arguments are different from those in Chapter 3 and exploit certain novel composition/extrapolation of simpler Bellman functions. The material is taken from the paper [12] written jointly with A. Osękowski. In the final part of the thesis, Chapter 5, we investigate weighted maximal L1 estimates for martingale transforms, which can be regarded as endpoint complements of the result from Chapter 2. The material is taken from the work [13]. We have tried to keep this thesis as self-contained as possible, providing unproved statements with convenient references.