Compensated compactness and DiPerna-Majda measures

W pracy omawiamy kilka tematów związanych ze skompensowaną zwartością i miarami DiPerny-Majdy. Praca podzielona jest na rozdziały, z których większość oparta jest na artykułach napisanych wyłącznie przez autora lub pod współautorem. Pierwszy rozdział zawiera krótkie omówienie podjętych tematów. Omawiamy główne motywacje podjęcia wybranych problemów, a także szkicujemy historię związanych z nimi badań. Rozdział 2 powstał na podstawie pracy napisanej wspólnie z Agnieszką Kałamajską. Badamy warunki geometryczne dla jądra całkowego f, pozwalające osiągnąć dolną półciągłość funkcjonału I (u), gdzie u spełnia pewne prawo zachowania. Rozdział 3 jest oparty na artykułach własnych autora. Główny nacisk położono na skonstruowanie pewnej kompaktyfikacji i zastosowanie jej do teorii miar DiPerna-Majda. Rozdział 4 jest oparty na dwóch wspólnych pracach z Elvirą Zappale. W pierwszej części rozdziału zajmiemy się problemami redukcji wymiarów 3D - 2D i udowodnimy pewien lemat dekompozycyjny. Druga część to zastosowanie powyższych wyników do problemu optymalnego projektu.

In the thesis we discuss several topics connected to the compensated compactness and DiPerna-Majda measures. The thesis is divided into chapters, most of which are based on the articles written by the author exclusively or under co-authorship. The first chapter briefly provides an overview of the undertaken topics. We discuss the main motivations for taking on the chosen problems, as well as sketch the history of related research. Chapter 2 is based on the joint paper written with Agnieszka Kałamajska. We study geometric conditions for integrand f to define a lower semicontinuous integral functional I(u), where u satisfies a certain conservation law. Chapter 3 is based on the author’s own papers. The main focus is laid on constructing a certain compactification and applying it to DiPerna-Majda measures theory. Chapter 4 is based on two joint works with Elvira Zappale. In the first part of the chapter, we get in the realm of 3D - 2D dimensional reduction problems and prove a certain Decomposition Lemma. The second part is an application of the aforementioned results to the optimal design problem.