Algebraic contact manifolds, their generalizations and applications

Niniejsza rozprawa porusza problematykę zespolonych rozmaitości algebraicznych wyposażonych w holomorficzną strukturę kontaktową. Przedstawiamy historyczną motywację do badania ich pochodzącą z geometrii riemannowskiej i hipotezę LeBruna-Salamona oraz wybrane wyniki dotyczące klasyfikacji tych obiektów. W szczególności, omawiamy teorię Mori rzutowych rozmaitości kontaktowych wraz z niedawno rozwiniętą metodą wykorzystującą działanie na rozmaitości algebraicznego torusa. Zastosowanie tej metody wymaga założeń dotyczących fundamentalnych systemów liniowych pewnych rozmaitości Fano. Wobec tego, omawiamy aktualny stan wiedzy w dziedzinie badania takich systemów dla osobliwych rozmaitości Fano o dużym indeksie. W dalszej części rozważamy pewne uogólnienia pojęcia rozmaitości kontaktowej. Koncentrujemy się na dwóch możliwościach: dopuszczeniu degeneracji formy kontaktowej na pewnym domkniętym podzbiorze (rozmaitości generycznie kontaktowe) lub dopuszczeniu wymiernych osobliwości (osobliwe rozmaitości kontaktowe). Badamy podstawowe własności tych obiektów, w drugim przypadku korzystając z analogii z teorią osobliwości symplektycznych. Wreszcie omawiamy jak struktury kontaktowe pojawiają się w naturalny sposób w teorii równań różniczkowych cząstkowych. Przedstawiamy bardziej szczegółowo przypadek równania Monge’a-Ampère’a w trzech wymiarach nad ciałem liczb zespolonych i pokazujemy równoważność między odwzorowaniem momentu Hitchina i niezmiennikiem Kushnera-Lychagina-Rubtsova i jak wyznaczają one rozmaitość kocharakterystyczną równania.

This dissertation revolves around complex algebraic varieties equipped with a holomorphic contact structure (contact manifolds). We sketch the historical motivation to study them coming from the Riemannian geometry and the conjecture of LeBrun and Salamon and present selected results concerning their classification. In particular, we discuss the Mori theory of projective contact manifolds and a recently developed method exploiting an action of an algebraic torus on a variety. The application of this method requires assuming that the fundamental linear systems of some Fano varieties are big enough. Consequently, we present state-of-the-art answers for the questions concerning dimensions of such systems for mildly singular, high-index Fano varieties. Then, we move to considerations concerning some generalizations of the notion of a contact manifold. We focus on two possibilites: allowing contact form to degenerate on some closed subset (generically contact manifold) or allowing mild singularities of the underlying variety (singular contact variety). We study basic properties of such objects, and in the second case we often use parallels with the theory of symplectic singularities. Finally, we explain how contact structures arise in the theory of partial differential equations. We focus on the case of a symplectic Monge-Ampère equation in dimension 3 over the field of complex numbers and show equivalence between the Hitchin moment map and Kushner-Lychagin-Rubtsov invariant and how they determine the cocharacteristic variety of the equation.