New shape descriptors for Topological Data Analysis

Niniejsza rozprawa przedstawia zbiór nowych narzędzi obliczeniowych dla Topologicznej Analizy Danych (TDA). Są one wydajnymi obliczeniowo metodami będącymi odpowiedzią na kluczowe wyzwania w dyscyplinie i znajdującymi zastosowania do rozwiązywania rzeczywistych problemach z różnych dziedzin. Pierwsza część rozprawy koncentruje się na opracowaniu nowych cech kształtu danych wzorowanych na idei persistent homology. Omówimy w niej koncepcje krzywych charakterystyki Eulera i wprowadzimy ich uogólnienie na wieloparametrowe filtracje w postaci profili charakterystyki Eulera. Pokazujemy, że zaproponowane charakterystyki posiadają własność stabilności ze względu na perturbację danych wejściowych. To sprawia, że są one wydajną i stabilną alternatywą dla szeroko stosowanych persistent homology. Następnie rozważamy problem odwzorowania informacji z persistent homology z powrotem do danych wejściowych, na podstawie których zostały one obliczone. Przedstawiamy rozwiązanie oparte na koncepcji homologii harmonicznych gdzie waga każdego sympleksu w łańcuchu jest związana z jego względnym wkładem w rozważaną cechę topologiczną. Druga część rozprawy wprowadza nowe algorytmy wykorzystywane do wizualizacji danych, rozszerzając zarówno standardową konstrukcję Mappera, jak i nowszy algorytm Ball Mapper. Proponowane przez nas konstrukcje pozwalają uzyskać graf Ball Mappera zachowujący znane symetrie danych wejściowych. Ponadto prezentujemy wersję Mappera, która umożliwia wykorzystanie wielowymiarowych lens functions oraz technikę wizualizacji relacji między różnymi wielowymiarowymi cechami tych samych danych. Przedstawimy zastosowanie tych metod w matematyce teoretycznej, do badania struktury wielomianów wykorzystywanych w teorii węzłów do charakteryzacji węzłów. Na końcu przedstawiamy algorytm ClusterGraph, który łączy techniki klastrowania i redukcji wymiarowości, zapewniając nowy sposób wizualizacji zarówno lokalnej, jak i globalnej struktury wielowymiarowych zbiorów danych. Wszystkie omówione w tej rozprawie koncepcje i narzędzia są zaimplementowane w postaci ogólnodostępnych pakietów i ich implementacja stanowi ważną część niniejszej rozprawy. Umożliwia ona praktyczne zastosowanie omawianych metod dla szerokiego zakresu rzeczywistych zbiorów danych.

This thesis presents a collection of new tools for topological data analysis (TDA), addressing key challenges in terms of computational efficiency, interpretability, and applicability to real-world problems across various domains. The first part of the thesis focuses on developing new persistence-based shape descriptors. We start with Euler characteristic curves and introduce their generalization to multiparameter filtrations, the Euler characteristic profiles. We show that these descriptors enjoy some kind of stability with respect to perturbations of the input data, which makes them efficient and stable alternatives to the widely used persistent homology barcodes. We then consider the problem of mapping back the information from persistence barcodes to the data they were computed from. We present a solution based on harmonic representatives and link the weight of each simplex in an harmonic chain to its relative contribution to the existence of the corresponding topological feature. The second part of the thesis introduces new mapper-type algorithms for data visualization, by expanding on both the standard Mapper construction as well as the more recent Ball Mapper. We propose an equivariant Ball Mapper, which leverages group actions on the data; a version of Mapper which enables the use of high-dimensional lens functions, and a technique to visualize relations between different data descriptors. These methods are applied to study the topology of polynomial invariants of knots, leading to new insights in theoretical mathematics. Finally, we introduce ClusterGraph, a framework that bridges clustering and dimensionality reduction techniques, providing a novel way to visualize both the local and global structure of high-dimensional datasets. We provide implementations of all the tools and methods presented in this thesis, and show practical applicability of them on a wide range of real-world datasets.