Topologically non-trivial black hole spacetimes

Fizyczna interpretacja czasoprzestrzeni z parametrem NUTa przysparza problemów jak niewiele innych ścisłych rozwiązań Równań Einsteina. Czasoprzestrzeń Tauba-NUTa (najprostsza w tej rodzinie) została okrzyknięta przez Charlesa Misnera "kontrprzykładem do prawie wszystkiego". Chociaż są bezpośrednim i próżniowym uogólnieniem czasoprzestrzeni Schwarzwalda, to nie są asymptotycznie płaskie. Zawierają zamknięte i czasowe krzywe blisko osi symetrii orz dopuszczają dwa nierównoważne maksymalne rozszerzenia . Problemy te związane są blisko związane z obecnością osobliwych osi rotacji w czasoprzestrzeni. Zwykle wiąże się je z osobliwością stożkową czasoprzestrzeni, a co za tym idzie z obecności kosmicznej struny (czasem zwanej też strun Misnera). Misner zaproponował interpretacje zmieniającą topologie czasoprzestrzeni do produktu trójwymiarowej sfery oraz prostej rzeczywistej. Kluczowym elementem jego interpretacji było wprowadzanie cyklicznej, czasowej (w zewnętrznym regionie czarnej dziury) współrzędnej. Skutkiem tego w tej interpretacji przez każdy punkt tak zwanych regionów NUTa przebiegają zamknięte krzywe czasowe, co jeszcze bardziej utrudnia fizyczną interpretacje. W tej rozprawie rozszerzam nieosobliwą interpretacje Misnera do szerszej klasy rozwiązań z parametrem NUTa zawartych w rodzinie rozwiązań Plebańskiego-Demiańskiego, zawierających parametr Kerra, przyśpieszenie, stałą kosmologiczną oraz ładunki elektromagnetyczne. Okazuje się, że zawsze istnieje pole wektorowe Killinga posiadającące gładką przestrzeń orbit oraz indukujące w czasoprzestrzeni strukturą wiązki głównej z grupą U(1). Składniki te są wykorzystane do konstrukcji nieosobliwych czasoprzestrzeni. Potencjalnym zastosowaniem powyżej konstrukcji są niejednorodne modele kosmologiczne. Czasoprzestrzenie z parametrem NUTa są ściśle powiązane z horyzontami czarno-dziurowymi o topologii trójwymiarowej sfery. Co interesujące dzielą się one na dwa typy, w zależności od tego czy symetria U(1) jest zerowa na horyzoncie. Równanie Typu D, będące od niedawna w arsenale relatywistów matematycznych, pozwala na uzyskanie geometrii Izolowanych Horyzontów, będących lokalnym uogólnieniem horyzontów Killinga. W niniejszej pracy, zostanie wprowadzony i zbadany nowy rodzaj Izolowanych Horyzontów posiadających symetrię U(1) transwersalną do zerowej symetrii. Rozwiązania równania Type D Petrova zadane na horyzontach o powyższej strukturze będą porównane z horyzontami Killinga w (przyśpieszonych) czasoprzestrzeniach Kerra-NUTa-(anty-) de Sitter. Czasoprzestrzenie z parametrem NUTa dopuszczają uogólnienie zawierającą wyróżnioną rodzinę dwu wymiarowych powierzchni o znikającej lub ujemnej krzywiźnie. Po kompaktyfikacji do przestrzeni Riemanna o niezerowym genusie czasoprzestrzenie te w naturalny sposób posiadają topologię nietrywialnej wiązki. Pełna rodzina Izolowanych Horyzontów o strukturze wiązki głównej z grupą U(1) nad zwartymi powierzchniami Riemanna jest skonstruowana i badana dzięki rozwiązaniom równania Typu D. Ich przestrzenie zanurzające są znalezione, są one lokalnie izometryczne do uogólnionych czasoprzestrzeni Tauba-NUTa-(anty-) de Sittera.

Few exact solutions to the Einstein Equations have posed more difficulty in their physics interpretation than spacetimes containing the NUT parameter. Charles Misner famously said that the Taub-NUT spacetime, the simplest spacetime with the NUT parameter, is a counter-example to almost everything. It is a direct and vacuum generalization of the Schwarzschild spacetime and yet is not asymptotically flat. It contains closed time-like curves close to the axis, is not geodesically complete, and contains two equivalent maximal analytic extensions. All of those problems are tightly connected with the existence of a singular axis of rotation in spacetime. Usually, this singularity is associated with a conical singularity and subsequently with the existence of a cosmic (sometimes called Misner) string. Coincidentally it was Misner, who proposed a non-singular interpretation, which changes the topology of the spacetime to the product of a 3-sphere and a real line. A crucial element of this interpretation is the introduction of a periodic time-like (in certain regions) coordinate. Consequently through every point of the so-called NUT region of spacetime passes a closed timelike curve, further inhibiting physical interpretation. In this thesis, I seek to extend the Misner interpretation to a broad class of NUT solutions contained in the Plebański-Demiański solution. In particular, non-singular Misner-like spacetimes are constructed for generic spherical Type D black hole solutions, including the Kerr parameter, acceleration, the cosmological constant, and electromagnetic charges. It turns out that there always exist Killing Vector fields giving rise to a smooth space of the orbits and the U(1)- Principle Fiber Bundle structure, from which the non-singular spacetime may be constructed. An immediate possible application is the construction of singularity-free non-homogeneous cosmological models. NUT spacetimes are intrinsically connected with black hole horizons of the three-sphere topology. Interestingly they split into two cases, depending on whether the U(1 symmetry coincides with the horizon-generating Killing vector field. The Petrov Type D equation is a recently obtained tool in mathematical relativity allowing for obtaining the geometry of Isolated Horizon, a local generalization of the Killing horizon. In this work, a novel type of IH horizon, such that the U(1) symmetry is transversal to the null symmetry is proposed and its geometry is studied. Then the solutions to the Petrov Type D Equation on the Hopf bundle, corresponding to both of the above cases, are compared with the embedded horizon in non-singular (accelerated) Kerr-NUT-(anti-) de Sitter. NUT spacetimes also include a generalization admitting a family of two-surface of vanishing and negative curvature. Upon compactification to a Riemann surface with a genus higher than 0, the spacetimes naturally admit a non-trivial bundle topology. A full family of Isolated Horizons of U(1)- Principle Fiber Bundle structure over a compact Riemann surface will be constructed and studied via the Petrov Type D equation. Their embedding spacetimes have been found to be locally isometric to the generalized Taub-NUT-(anti-) de Sitter.