Praca doktorska
Ładowanie...
Licencja
Korzystanie z tego materiału możliwe jest zgodnie z właściwymi przepisami o dozwolonym użytku lub o innych wyjątkach przewidzianych w przepisach prawa. Korzystanie w szerszym zakresie wymaga uzyskania zgody uprawnionego.Functional and transport inequalities and their applications to concentration of measure
| dc.abstract.en | This thesis is devoted to the study of functional and transportation inequalities connected to the concentration of measure phenomenon. In the first part, we work in the classical setting of smooth functions and are interested in the concentration between the exponential and Gaussian levels. We prove that a probability measure which satisfies a Beckner-type inequality of Latała and Oleszkiewicz, also satisfies a modified log-Sobolev inequality. As a corollary, we obtain improved (dimension-free) two-level concentration for products of such measures. The second, more extensive, part is concerned with concentration of measure for convex functions. Our main tool, used throughout, is the theory of weak transportation inequalities introduced recently by Gozlan, Roberto, Samson, and Tetali. We start by presenting a characterization of probability measures on the real line which satisfy the convex log-Sobolev inequality. This allows us to give concentration estimates of the lower and upper tails of convex Lipschitz functions (the latter were not known before). We then prove that a probability measure on $\mathbb{R}^n$ which satisfies the convex Poincar\'e inequality also satisfies a Bobkov--Ledoux modified log-Sobolev inequality, extending results obtained by other authors for measures on $\mathbb{R}$. We also present refined concentration of measure inequalities, which are consequences of weak transportation inequalities (or, equivalently, their dual formulations: convex infimum convolution inequalities). This includes applications to concentration for non-Lipschitz convex functions. Our last result concerns convex infimum convolution inequalities with optimal cost functions for measures with log-concave tails. As a corollary, we obtain comparison of weak and strong moments of random vectors with independent coordinates with log-concave tails. |
| dc.abstract.pl | Niniejsza rozprawa poświęcona jest nierównościom funkcyjnym i transportowym związanym ze zjawiskiem koncentracji miary. W pierwszej części zajmujemy się koncentracją dla funkcji gładkich. Dowodzimy, że miara probabilistyczna, która spełnia pochodzącą od Latały i Oleszkiewicza nierówność typu Becknera, spełnia także odpowiednią zmodyfikowaną nierówność logarytmiczną Sobolewa. Jako wniosek dostajemy wzmocnioną dwupoziomową koncentrację dla produktów takich miar. Druga część jest obszerniejsza i dotyczy koncentracji dla funkcji wypukłych. Naszym głównym narzędziem technicznym jest teoria słabych nierówności transportowych wprowadzonych niedawno przez Gozlana, Roberta, Samsona i Tetaliego. Najpierw przedstawiamy charakteryzację miar probabilistycznych, które spełniają wypukłą nierówność logarytmiczną Sobolewa na prostej. Pozwala nam to wyprowadzić oszacowania koncentracyjne dla górnego i dolnego ogona lipszycowskich funkcji wypukłych (wcześniej znane były jedynie oszacowania dla górnego ogona). Następnie dowodzimy, że miara probabilistyczna na $\mathbb{R}^n$, spełniająca wypukłą nierówność Poincar\'ego, spełnia także pochodzącą od Bobkova i Ledoux zmodyfikowaną nierówność logarytmiczną Sobolewa. Wzmacnia to wyniki otrzymane przez innych autorów w przypadku miar na prostej. Opisujemy także, jakie ogólne nierówności koncentracyjne wynikają ze słabych nierówności transportowych (równoważnie: z ich dualnych sformułowań, czyli wypukłych nierówności splotu infimum). Obejmuje to także wyniki dla nielipszycowskich funkcji wypukłych. Ostatni wynik dotyczy wypukłych nierówności splotu infimum z optymalnymi funkcjami kosztu dla miar o log-wklęsłych ogonach. Jako wniosek otrzymujemy porównywanie słabych i silnych momentów wektorów losowych o niezależnych współrzędnych z log-wklęsłymi ogonami. |
| dc.affiliation.department | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
| dc.contributor.author | Strzelecki, Michał |
| dc.date.accessioned | 2019-10-04T10:40:05Z |
| dc.date.available | 2019-10-04T10:40:05Z |
| dc.date.defence | 2019-10-03 |
| dc.date.issued | 2019-10-04 |
| dc.description.promoter | Adamczak, Radosław |
| dc.identifier.uri | https://repozytorium.uw.edu.pl//handle/item/3539 |
| dc.language.iso | en |
| dc.rights | FairUse |
| dc.subject.en | transportation inequalities |
| dc.subject.en | Poincar\'e inequality |
| dc.subject.en | log-Sobolev inequality |
| dc.subject.en | infimum convolution |
| dc.subject.en | convex functions |
| dc.subject.en | concentration of measure |
| dc.subject.en | splot infimum |
| dc.subject.pl | nierówności transportowe |
| dc.subject.pl | nierówność Poincar\'ego |
| dc.subject.pl | nierówność logarytmiczna Sobolewa |
| dc.subject.pl | koncentracja miary |
| dc.subject.pl | funkcje wypukłe |
| dc.title | Functional and transport inequalities and their applications to concentration of measure |
| dc.title.alternative | Nierówności funkcyjne i transportowe i ich zastosowania do koncentracji miary |
| dc.type | DoctoralThesis |
| dspace.entity.type | Publication |