Praca doktorska
Ładowanie...
Licencja
Korzystanie z tego materiału możliwe jest zgodnie z właściwymi przepisami o dozwolonym użytku lub o innych wyjątkach przewidzianych w przepisach prawa. Korzystanie w szerszym zakresie wymaga uzyskania zgody uprawnionego.Geometric Approaches to Lie Bialgebras, their Classification, and Applications
| dc.abstract.en | This thesis presents novel algebraic and geometric approaches to the classification problem of coboundary Lie bialgebras up to Lie algebra automorphisms. This entails the analysis of modified and classical Yang-Baxter equations and other related mathematical structures. More specifically, we develop Grassmann, graded algebra, and algebraic invariant techniques for the classification problem of coboundary Lie bialgebras and the so-called $r$-matrices. The devised techniques are mainly focused on the study of $r$-matrices for three-dimensional and indecomposable four-dimensional Lie algebras. An example of a decomposable four-dimensional Lie algebra, namely $\mathfrak{gl}_2$, is also considered. Other particular higher-dimensional Lie bialgebras, e.g. $\mathfrak{so}(2,2)$ and $\mathfrak{so}(3,2)$, are partially studied. Special relevance has the development of a new notion: the Darboux families, which provide a powerful method for the classification and determination of classes of $r$-matrices. In fact, the classification of $r$-matrices for four-dimensional indecomposable Lie bialgebras is a significative advance relative to previous results in the literature as the classification problem of Lie bialgebras has been predominantly treated algebraically in the literature. Meanwhile, we address the problem in a more geometric manner. Moreover, the theory of Lie bialgebras and related notions are employed in the study of Lie systems, their generalisations, and Hamiltonian systems. More specifically, we study the use of $r$-matrices for the description of interesting Hamiltonian systems relative to symplectic and Poisson structures. Additionally, we extend the construction of integrable deformations of Lie--Hamilton systems on symplectic manifolds to Jacobi manifolds. The outlook of this doctoral thesis suggests some further research directions, both in the abstract classification problem and the mathematical-physics applications. Appendices present a new practical method to obtain matrix representation for Lie algebras with nontrivial centre used throughout the work and the code written in Mathematica that has been used to facilitate some of the computations for coboundary Lie bialgebras classifications. |
| dc.abstract.en | Niniejsza rozprawa prezentuje nowe algebraiczne i geometryczne podejścia do problemu klasyfikacji kobrzegowych bialgebr Liego z dokładnością do automorfizmów algebr Liego. Analizowane są również zmodyfikowane i klasyczne równania Yanga--Baxtera oraz powiązane struktury matematyczne. W szczególności, rozwijamy techniki oparte na zastosowaniu algebr Grassmanna, algebr gradowanych oraz algebraicznych niezmienników w celu klasyfikacji kobrzegowych bialgebr Liego oraz tak zwanych r-macierzy. Skupiamy się przede wszystkim na badaniu r-macierzy dla trójwymiarowych oraz nierozkładalnych czterowymiarowych algebr Liego. Rozważamy też czterowymiarowy przykład rozkładalnej algebry Liego, $\mathfrak{gl}_2$. Inne wyżejwymiarowe przypadki, m.in. $\mathfrak{so}(2,2)$ oraz $\mathfrak{so}(3,2)$, są częściowo analizowane. Szczególne znaczenie ma nowe pojęcie wprowadzone i rozwijane w pracy, rodziny Darboux, które dostarcza wyjątkowo użytecznej metody wyznaczania i klasyfikacji klas r-macierzy. Analiza r-macierzy przeprowadzona dla czterowymiarowych nierozkładalnych algebr Liego jest jednym z niewielu geometrycznych ujęć problemu klasyfikacji bialgebr Liego i stanowi istotny postęp względem wcześniejszych prac, które oferowały głównie algebraiczne podejścia. Ponadto, stosujemy pojęcia znane z teorii bialgebr Liego do badania układów Liego, ich uogólnień oraz układów hamiltonowskich. Przyglądamy się szczególnie zastosowaniom r-macierzy w opisie układów hamiltonowskich wględem struktur symplektycznych i poissonowskich. Dodatkowo, rozszerzamy konstrukcję całkowalnych deformacji układów Liego--Hamiltona na rozmaitościach symplektycznych na rozmaitości Jacobiego. W Podsumowaniu pracy nakreślamy możliwe kierunki dalszych badań, zarówno w abstrakcyjnym problemie klasyfikacyjnym, jak i zastosowaniach w fizyce matematycznej. W Dodatkach opisujemy praktyczną metodę otrzymywania macierzowej reprezentacji algebr Liego posiadających nietrywialne centrum, używaną w całej pracy, oraz prezentujemy kod napisany w programie Mathematica, który był stosowany do wykonania rachunków niezbędnych podczas klasyfikowania kobrzegowych bialgebr Liego. |
| dc.affiliation.department | Wydział Fizyki |
| dc.contributor.author | Wysocki, Daniel |
| dc.date.accessioned | 2023-09-28T12:13:45Z |
| dc.date.available | 2023-09-28T12:13:45Z |
| dc.date.defence | 2023-09-14 |
| dc.date.issued | 2023-09-28 |
| dc.description.additional | Link archiwalny https://depotuw.ceon.pl/handle/item/4682 |
| dc.description.promoter | De Lucas Araujo, Javier |
| dc.identifier.uri | https://repozytorium.uw.edu.pl//handle/item/4682 |
| dc.language.iso | en |
| dc.rights | FairUse |
| dc.subject.en | r-matrix |
| dc.subject.en | modified Yang--Baxter equation |
| dc.subject.en | Lie bialgebra |
| dc.subject.en | Jacobi manifold |
| dc.subject.en | invariant form |
| dc.subject.en | foliated Lie system |
| dc.subject.en | deformation of Lie--Hamilton system |
| dc.subject.en | Darboux family |
| dc.subject.en | Classical Yang--Baxter equation |
| dc.subject.en | rozmaitość Jacobiego |
| dc.subject.en | rodzina Darboux |
| dc.subject.en | r-macierz |
| dc.subject.en | zmodyfikowane równanie Yanga--Baxtera |
| dc.subject.en | klasyczne równanie Yanga--Baxtera |
| dc.subject.en | forma niezmiennicza |
| dc.subject.en | foliacja układów Liego |
| dc.subject.en | deformacja układu Liego--Hamiltona |
| dc.subject.en | Bialgebra Liego |
| dc.title | Geometric Approaches to Lie Bialgebras, their Classification, and Applications |
| dc.title.alternative | Geometryczne podejścia do bialgebr Liego, ich klasyfikacji oraz zastosowań |
| dc.type | DoctoralThesis |
| dspace.entity.type | Publication |