Praca doktorska
Ładowanie...
Licencja
Korzystanie z tego materiału możliwe jest zgodnie z właściwymi przepisami o dozwolonym użytku lub o innych wyjątkach przewidzianych w przepisach prawa. Korzystanie w szerszym zakresie wymaga uzyskania zgody uprawnionego.Concentration of Measure and Functional Inequalities
| dc.abstract.en | This thesis is devoted to the study of the concentration of measure phenomenon and its connections with functional inequalities. We focus on the relations between various types of inequalities and in the case of concentration estimates, we are mostly interested in discrete dependent random variables. In particular, we prove that Beckner inequalities with constants separated from zero as $p\to1^+$ are equivalent to the modified log Sobolev inequality. Further, we derive Sobolev type moment estimates which hold under these functional inequalities. We illustrate these results with applications to concentration of measure estimates for various stochastic models, including random permutations, zero-range processes, strong Rayleigh measures, exponential random graphs, and geometric functionals on the Poisson path space. Then, we answer an open problem posed by Mossel--Oleszkiewicz--Sen regarding relations between $p$-log-Sobolev inequalities for $p\in(0,1]$. We show that for any interval $I\subset (0,1]$, there exist $q,p\in I$, $q<p$ and a measure $\mu$ for which the $q$-log-Sobolev inequality holds, while the $p$-log-Sobolev inequality is violated. As a tool we develop certain necessary and sufficient conditions characterizing those inequalities in the case of birth-death processes on N. We also investigate concentration properties of functions of random vectors with values in the discrete cube, satisfying the stochastic covering property (SCP). Our result for SCP measures include subgaussian inequalities of bounded-difference type and their counterparts for matrix-valued setting. We also treat in detail the special case of independent Bernoulli random variables conditioned on their sum for which we obtain strengthened estimates, deriving in particular modified log-Sobolev inequalities, Talagrand's convex distance inequality and, as corollaries, concentration results for convex functions and polynomials, as well as improved estimates for matrix-valued functions. Finally, we prove a Bennett-type concentration bound for suprema of empirical processes based on sampling without replacement and a corresponding bound in the case of an arbitrary Hoeffding statistics. |
| dc.abstract.en | Niniejsza rozprawa poświęcona jest badaniu zjawiska koncentracji miary i jego związków z nierównościami funkcyjnymi. Skupiamy się na związkach między różnymi typami nierówności, a w przypadku oszacowań koncentracyjnych interesują nas głównie dyskretne zmienne losowe zależne. W szczególności udowadniamy, że nierówności Becknera ze stałymi oddzielonymi od zera wraz z $p\to 1^+$ są równoważne zmodyfikowanej nierówności log-Sobolewa. Ponadto, wyprowadzamy oszacowania momentów typu Sobolewa, które zachodzą przy tych nierównościach funkcyjnych. Powyższe wyniki ilustrujemy zastosowaniami do oszacowań koncentracji miary dla różnych modeli stochastycznych, w tym permutacji losowych, procesów zerowego zasięgu, silnych miar Rayleigha, wykładniczych grafów losowych i geometrycznych funkcji na przestrzeni Poissona. Następnie, odpowiadamy na otwarty problem postawiony przez Mossela--Oleszkiewicza--Sena, dotyczący związków pomiędzy różnymi nierównościami $p$-log-Sobolewa dla $p\in (0,1]$. Pokazujemy, że dla dowolnego przedziału $I\subset (0,1]$ istnieje $q,p \in I$, $q<p$ i miara $\mu$, dla której zachodzi nierówność $q$-log-Sobolewa, natomiast nie zachodzi nierówność $p$-log-Sobolewa. Jako narzędzie wyprowadzamy pewien warunek konieczny i powiązany warunek wystarczający dla powyższych nierówności w przypadku procesów narodzin i śmierci na $\NN$. Badamy również koncentrację funkcji wektorów losowych o wartościach w kostce dyskretnej, spełniających własność pokrycia stochastycznego. Uzyskane wyniki dla tych miar obejmują nierówności subgaussowskie oraz ich odpowiedniki w sytuacji macierzowej. Szczegółowo traktujemy także specjalny przypadek niezależnych zmiennych losowych Bernoulliego uwarunkowanych na ich sumę, dla których otrzymujemy wzmocnione oszacowania, wyprowadzając w szczególności zmodyfikowane nierówności log-Sobolewa, nierówność Talagranda dla odległości wypukłej oraz, w konsekwencji, wyniki koncentracji dla funkcji wypukłych i wielomianów, a także ulepszone oszacowania dla funkcji o wartościach macierzowych. W ostatniej części pracy udowadniamy oszacowania koncentracyjne typu Bennetta w przypadku supremów procesów empirycznych opartych na próbkowaniu bez zwracania oraz analogiczne oszacowania dla dowolnych statystyk Hoeffdinga. |
| dc.affiliation.department | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
| dc.contributor.author | Polaczyk, Bartłomiej |
| dc.date.accessioned | 2023-09-15T07:28:18Z |
| dc.date.available | 2023-09-15T07:28:18Z |
| dc.date.defence | 2023-09-26 |
| dc.date.issued | 2023-09-15 |
| dc.description.promoter | Adamczak, Radosław |
| dc.identifier.uri | https://repozytorium.uw.edu.pl//handle/item/4663 |
| dc.language.iso | en |
| dc.rights | FairUse |
| dc.subject.en | Poincar\'{e} inequality |
| dc.subject.en | Beckner inequality |
| dc.subject.en | log-Sobolev inequality |
| dc.subject.en | concentration of measure |
| dc.subject.en | nierówność Poincar\'{e} |
| dc.subject.en | nierówność Becknera |
| dc.subject.en | nierówność logarytmiczna Sobolewa |
| dc.subject.en | koncentracja miary |
| dc.title | Concentration of Measure and Functional Inequalities |
| dc.title.alternative | Koncentracja miary i nierówności funkcyjne |
| dc.type | DoctoralThesis |
| dspace.entity.type | Publication |