A Torres Formula for multivariable Levine-Tristram signature

Tematem poniższej rozprawy jest sygnatura Levine'a--Tristrama wielu zmiennych. Dokładniej, interesuje nas granica sygnatury wielu zmiennych, gdy któraś ze zmiennych dąży do 1. Porównujemy tę granicę do sygnatury wielu zmiennych odpowiedniego podsplotu. Rozważamy także podobną relację dla funkcji jądra (ang. nullity) splotów. Motywuje nas ku temu fakt, wyrażony poprzez formułę udowodnioną przez Torresa, który opisuje analogiczną relację dla wielomianu Alexandera wielu zmiennych. Podchodzimy do tego problemu z dwóch punktów widzenia. Po pierwsze, rozpatrujemy sygnaturę i funkcję jądra splotu zdefiniowaną jako sygnaturę i wymiar jądra pewnej macierzy Hermitowskiej uzyskanej za pomocą trójwymiarowej konstrukcji C-kompleksu. Pokazujemy, że w granicy sygnatura i wymiar jądra tej macierzy mogą być wyrażone jako suma sygnatury i wymiaru jądra macierzy przypisanej odpowiedniemu podsplotowi oraz sygnatury i wymiaru jądra odpowiedniej macierzy poprawkowej. Pokazujemy, że owa macierz poprawkowa jest niezmiennicza ze względu na relację homotopii splotów i pokazujemy, jak można ją zrekonstruować z pewnych kombinatorycznych danych przypisanych splotowi. Na koniec rozważamy nierówności opisujące relację między sygnaturą i funkcją jądra w granicy, a sygnaturą i funkcją jądra odpowiedniego podsplotu, które wynikają z tej dekompozycji macierzy. Następnie, rozważamy sygnaturę wielu zmiennych i funkcję jądra zdefiniowane jako niezmienniki pewnej czterowymiarowej rozmaitości przypisanej splotowi wraz z dodatkowym wyborem powierzchni rozpinającej. Dokładniej, te funkcje zostaną zdefiniowane jako sygnatura i wymiar jądra skręconej formy przecięcia owych rozmaitości. Zaczniemy od zmodyfikowania znanej już konstrukcji takich rozmaitości, aby uzyskać konstrukcję, która posiada dobre własności, gdy któraś za zmiennych wynosi 1. Następnie, użyjemy tej definicji, aby uzyskać relację między sygnaturą i funkcją jądra w 1, a sygnaturą i funkcją jądra odpowiedniego podsplotu oraz rozważymy nierówność opisującą relację między tymi funkcjami. Pokażemy, że uzyskana nierówność istotnie różni się od nierówności uzyskanej przez trójwymiarowe rozważania oraz porównamy ich moc. Na końcu użyjemy czterowymiarowej definicji, aby pokazać że sygnatura i funkcja splotu są w odpowiednim sensie niezmiennikami ze względu na relację konkordancji, nawet gdy któraś ze zmiennych jest równa 1.

The topic of this dissertation concerns the multivariable Levine--Tristram signature of links. In particular, we are interested at the limits of the multivariable signature function as some variable approaches 1. We compare the value of this limit to the multivariable signature of a suitable sublink. We also consider similar relations for the multivariable nullity function. The motivation to do so comes from a similar relation, expressed by the formula of Torres, that holds for the multivariable Alexander polynomial. We consider this from two points of view. First, we look at the multivariable signature defined as a signature of a certain Hermitian matrix obtained from a C-complex, a 3-dimensional construction. We show that in the limit, the signature and nullity of this matrix can be expressed as the sum of signature and nullity of the matrix associated to sublink, and the signature and nullity of a correction term matrix. We show that the correction term matrix is invariant under link homotopy and we explain how it can be recovered from combinatorial data associated to the link in question. Finally, we consider the inequalities relating the limits of the signature and nullity functions to the signature and nullity of a sublink obtained from this decomposition. Afterwards, we consider the multivariable signature and nullity defined as invariants of 4-dimensional manifolds associated to a link together with an auxiliary choice of a bounding surface. More precisely, these are defined then as the signature and nullity of twisted intersection forms of such manifolds. First, we modify a previous construction of such a manifold, to obtain one with desirable properties when some of the variables are equal to 1. Then, we use this definition to obtain a relation between the signature and nullity at 1 and the signature and nullity of a sublink, and we consider the inequality relating the limits of the signature and nullity obtained from these relation. We show that this inequality is different to the one obtained from 3-dimensional considerations and compare their strength. Finally, we use the 4-dimensional definition to show that the signature and nullity are in a suitable sense concordance invariants, even when some variable is equal to 1.