Praca doktorska
Licencja
Korzystanie z tego materiału możliwe jest zgodnie z właściwymi przepisami o dozwolonym użytku lub o innych wyjątkach przewidzianych w przepisach prawa. Korzystanie w szerszym zakresie wymaga uzyskania zgody uprawnionego.Combinatorial methods in the analysis of coherent distributions and related inequalities
| dc.abstract.en | The primary objective of this dissertation is to expand our current understanding of coherent distributions, their geometric properties and related maximal inequalities. The importance of this topic stems from its significant applications in probability theory, microeconomics and statistics: coherent vectors appear naturally when the odds of a given random event are estimated based on various sources of information. The thesis enhances the underlying theory of coherent distributions and introduces some efficient strategies tailored for the optimization context. The work presented in this thesis is based on five published research articles and one paper accepted for publication. For sake of convenience, we have decided to conduct the analysis separately in two directions: for the bivariate and for the multivariate distributions. In the first part, we focus on the convex structure of coherent distributions and the general characterization of corresponding extreme points. We analyze the supports of extreme coherent measures with finite number of atoms and provide an example of an extreme distribution with an uncountable support and with no atoms. Finally, we also confirm the Burdzy–Pitman conjecture about the maximal spread of coherent and independent distributions. In the second part, we investigate some open questions connected with the maximal dispersion of multivariate coherent distributions. We show a useful symmetrization technique and verify its essential properties. As a primary application, we generalize the two-variate inequality of Burdzy and Pal, and in particular offer its alternative derivation. Furthermore, we explore the underlying interrelation between coherent distributions and classical martingale theory, and propose an appropriate version of Doob’s maximal estimate for special “tree-shaped” filtrations. The characteristic feature of the work is the highly combinatorial nature of the reasoning. We will repeatedly use the discretization argument and the technique of consecutive transformations and reductions. This approach enables us to benefit from the interplay between coherent distributions, graph theory, and combinatorial matrix theory. |
| dc.abstract.pl | Głównym celem tej rozprawy jest poszerzenie dostępnej wiedzy dotyczącej rozkładów zgodnych, ich własności geometrycznych i powiązanych nierówności maksymalnych. Waga tego tematu wynika z jego istotnych zastosowań w teorii prawdopodobieństwa, mikroekonomii i statystyce: wektory zgodne pojawiają się w sytuacji, gdy szanse danego zdarzenia losowego liczone są równocześnie na podstawie różnych źródeł informacji. Niniejsza rozprawa rozwija podwaliny teorii rozkładów zgodnych oraz wprowadza szereg efektywnych narzędzi dostosowanych do kontekstu optymalizacji. Wyniki przedstawione w rozprawie opierają się na pięciu opublikowanych artykułach oraz jednej pracy przyjętej do druku. Ich prezentację podzieliliśmy tematycznie na dwie rozłączne części: pierwsza przedstawia wyniki dla rozkładów dwuwymiarowych, część druga dotyczy rozkładów wielowymiarowych. W części pierwszej skoncentrujemy się na strukturze wypukłej rozkładów zgodnych oraz ogólnej charakteryzacji odpowiadających jej punktów ekstremalnych. Później poddamy też badaniu nośniki miar ekstremalnych ze skończoną liczbą atomów oraz wskażemy przykład rozkładu ekstremalnego o nieprzeliczalnym nośniku i bez atomów. Na zakończenie udowodnimy hipotezę Burdzego–Pitmana o maksymalnym rozrzucie rozkładów zgodnych i niezależnych. Druga część pracy dotyczy pewnych pytań otwartych związanych z maksymalnym rozrzutem wielowymiarowych rozkładów zgodnych. Zaproponujemy tam użyteczną technikę symetryzacji i omówimy jej podstawowe własności. Jako jej najważniejsze zastosowanie uogólnimy zaś dwuwymiarową nierówność Burdzego i Pala, a zatem w szczególności podamy jej alternatywne uzasadnienie. Zbadamy również związek pomiędzy rozkładami zgodnymi a klasyczną teorią martyngałów, oraz pokażemy nową wersję nierówności maksymalnej Dooba dla pewnych “drzewiastych” filtracji. Dominującą cechą tej pracy jest wysoce kombinatoryczny charakter rozumowania. Będziemy wielokrotnie korzystać z argumentu dyskretyzacji oraz techniki kolejnych przekształceń i redukcji. Podejście to umożliwi nam skorzystanie z powiązań między rozkładami zgodnymi, teorią grafów i kombinatoryczną teorią macierzy. |
| dc.affiliation | Uniwersytet Warszawski |
| dc.affiliation.department | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
| dc.contributor.author | Cichomski, Stanisław |
| dc.date.accessioned | 2025-03-05T11:20:17Z |
| dc.date.available | 2025-03-05T11:20:17Z |
| dc.date.defence | 2025-03-31 |
| dc.date.issued | 2025-03-05 |
| dc.date.submitted | 2024-10-03 |
| dc.description.promoter | Osękowski, Adam |
| dc.description.reviewer | Burdzy, Krzysztof |
| dc.description.reviewer | Rybarczyk-Krzywdzińska, Katarzyna |
| dc.description.reviewer | Wojewódka-Ściążko, Hanna |
| dc.description.version | final_author |
| dc.identifier.apd | 236947 |
| dc.identifier.orcid | 0000-0002-3707-5538 |
| dc.identifier.uri | https://repozytorium.uw.edu.pl//handle/item/166188 |
| dc.language | en |
| dc.language.other | pl |
| dc.rights | FairUse |
| dc.subject.en | coherent distributions |
| dc.subject.en | joint distribution of conditional expectations |
| dc.subject.en | expert opinions |
| dc.subject.en | feasible joint posterior beliefs |
| dc.subject.en | contradictory predictions |
| dc.subject.en | maximal spread |
| dc.subject.en | conditional probability |
| dc.subject.en | stochastic inequalities |
| dc.subject.pl | rozkłady zgodne |
| dc.subject.pl | wspólny rozkład warunkowych wartości oczekiwanych |
| dc.subject.pl | opinie ekspertów |
| dc.subject.pl | możliwe rozkłady uzasadnionych przekonań |
| dc.subject.pl | maksymalny rozrzut |
| dc.subject.pl | przeciwstawne przewidywania |
| dc.subject.pl | nierówności losowe |
| dc.subject.pl | prawdopodobieństwo warunkowe |
| dc.title | Combinatorial methods in the analysis of coherent distributions and related inequalities |
| dc.title.alternative | Metody kombinatoryczne w analizie rozkładów zgodnych i powiązanych nierówności |
| dc.type | DoctoralThesis |
| dspace.entity.type | Publication |