Praca doktorska
Licencja
Korzystanie z tego materiału możliwe jest zgodnie z właściwymi przepisami o dozwolonym użytku lub o innych wyjątkach przewidzianych w przepisach prawa. Korzystanie w szerszym zakresie wymaga uzyskania zgody uprawnionego.Collective dynamics of interacting particles
| dc.abstract.en | The models that describe a collective dynamics of interacting particles belong to a wide class of kinetic models with non-local interaction. A notable example of such model is the classical Vlasov equation. One of the model-defining factors is the kernel of the potential generating the motion. The purpose of this thesis is to analyse one of such models i.e. the Cucker--Smale flocking model with a singular kernel; to approach the problem of well--posedness for this model and to understand the impact of the singularity on its qualitative and quantitative properties.For the Cucker--Smale particle system with singular kernel $\psi(s)=s^{-\alpha}$ for $\alpha\in(0,1)$ we prove that the trajectories of the particles can collide and stick together (the latter phenomenon does not occur in case of the model with regular kernel). Moreover we provide the first proof of weak existence and uniqueness of solutions for this range of singularity.After reducing the range of singularity to $\alpha\in(0,\frac{1}{2})$ we prove existence and uniqueness of strong solutions. Further we apply this result to obtain existence and conditional uniqueness for the singular Cucker--Smale kinetic equation with compactly supported Radon measure as the initial data. This part is achieved by a modified version of the mean--field limit approach resulting in a framework that translates uniform regularity of the particle system to the existence of the measure solution to the kinetic equation. In particular the usual assumption that the solutions of the particle system are stable with respect to the perturbations of the initial data can be omitted.In the second part we analyse the kinetic Cucker--Smale equation with regular kernel coupled with equations of non-Newtonian shear thickening fluid. We obtain existence and uniqueness of strong solutions in space dimension $d=3$. |
| dc.abstract.pl | Modele opisujące dynamikę współoddziałujących cząstek należą do szerokiej klasy modeli kinetycznych. Klasycznym przykładem jest dobrze znane równanie Własowa. Kluczowym z punktu widzenia definicji modelu czynnikiem jest jądro potencjału odpowiedzialnego za oddziaływania. Celem niniejszej pracy jest analiza jednego z takich modeli t.j. modelu Cuckera-Smale'a z osobliwym jądrem potencjału; praca koncentruje się na zbadaniu wpływu osobliwości jądra potencjału na jakościowe i ilościowe własności modelu.Dla układu cząstek Cuckera-Smale'a z osobliwym jądrem $\psi(s)=s^{-\alpha}$ dla $\alpha\in(0,1)$ dowodzimy, że trajektorie cząstek mogą się zarówno zderzać jak i sklejać (ostatnie z tych zjawisk nie występuje w przypadku modelu z regularnym jądrem potencjału). Co więcej prezentujemy pierwszy dowód istnienia i jednoznaczności słabych rozwiązań dla tych wartości wykładnika $\alpha$.Po zredukowaniu dopuszczalnego zbioru wykładników do $\alpha\in(0,\frac{1}{2})$ dowodzimy istnienia i jednoznaczności silnych rozwiązań. Dodatkowo stosujemy ten wynik w celu uzyskania istnienia i warunkowej jednoznaczności dla kinetycznego równania Cuckera-Smale'a z osobliwym potencjałem i miarą Radona o zwartym nośniku jako warunkiem początkowym. Ta część pracy wykonana jest zmodyfikowaną wersją metody granicy pola średniego, która umożliwia wywnioskowanie istnienia miarowych rozwiązań równań kinetycznych z jednostajnej regularności rozwiązań układu cząstek. W szczególności tradycyjnie wymagane w metodzie granicy pola średniego założenie dobrego postawienia problemu układu cząstek jest pomijane.W drugiej części poddajemy analizie kinetyczne równanie Cuckera-Smale'a z regularnym jądrem potencjału sprzężone z równaniami płynów nieniutonowskich. Otrzymujemy istnienie i jednoznaczność silnych rozwiązań dla wymiaru $d=3$. |
| dc.affiliation.department | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
| dc.contributor.author | Peszek, Jan |
| dc.date.accessioned | 2016-09-08T00:05:41Z |
| dc.date.available | 2016-09-08T00:05:41Z |
| dc.date.defence | 2016-09-19 |
| dc.date.issued | 2016-03-10 |
| dc.description.osid | 95756 |
| dc.description.promoter | Mucha, Piotr |
| dc.identifier.apd | 18388 |
| dc.identifier.uri | https://repozytorium.uw.edu.pl//handle/item/1671 |
| dc.language.iso | en |
| dc.rights | FairUse |
| dc.subject.en | alignment |
| dc.subject.en | flocking |
| dc.subject.en | singular kernel |
| dc.subject.en | singular potential |
| dc.subject.en | kinetic equation |
| dc.subject.en | non-Newtonian fluid |
| dc.subject.pl | wyrównywanie prędkości |
| dc.subject.pl | tworzenie stad |
| dc.subject.pl | osobliwe jądro potencjału |
| dc.subject.pl | równanie kinetyczne |
| dc.subject.pl | płyn nieniutonowski |
| dc.title | Collective dynamics of interacting particles |
| dc.title.alternative | Dynamika współoddziałujących cząstek |
| dc.type | DoctoralThesis |
| dspace.entity.type | Publication |