Regularity and Singularities in Nonlinear Elliptic Systems: A Study of n-Harmonic Maps and H-Systems

W niniejszej pracy badamy regularność przekształceń u z przestrzeni W^{1,n}(B^{n}(0,1), R^m), gdzie B^{n} jest jednostkową kulą n-wymiarową, które są słabymi rozwiązaniami nieliniowych równań różniczkowych o krytycznym wzroście:

-div(|Du|^{n - 2}Du) = F(u, Du),

gdzie F jest elementem L^1 . Analizujemy regularność przekształceń słabo n -harmonicznych i H-układów w przestrzeni W^{n / 2, 2} dla n > 1, która jest podprzestrzenią W^{1,n}, pokazując, że regularność w ogólnej przestrzeni W^{1,n} nadal pozostaje nierozwiązana. Rozszerzamy również przykład J. Frehse'a dotyczący jednopunktowej nieciągłości dla powyższego równania różniczkowego z analityczną prawą stroną F na dowolnie określony zbiór osobliwości.

In this work, we study the regularity of maps u from the W^{1,n}(B^{n}(0,1), R^m), where B^{n} denotes the n-dimensional unit ball, which are weak solutions to nonlinear equations of critical growth: -div(|Du|^{n - 2}Du) = F(u, Du), where F is in L^1. We investigate the regularity of weakly n-harmonic maps and H-systems within the space W^{n / 2, 2} for n > 1, which is a subspace of W^{1,n}, showing that the regularity in the general W^{1,n} space is still unresolved. We also extend J. Frehse's example of a one-point discontinuity for the above differential equation with analytic F to an arbitrary prescribed set of singularities.