Pricing and hedging of general rating-sensitive claims in a jump-diffusion market model in the presence of stochastic factors

Otrzymaliśmy wyniki pokazujące jak można rozwiązać problemy wyceny i zabezpieczania średniokwadratowego pewnych kontraktów za rozwiązywaniem odpowiednich zagadnień Cauchego i Dirichleta. Probablistyczna interpretacja rozwiązań zagadnień Cauchego i Dirichleta umożliwiła nam wyznaczenie pewnych warunkowych wartości oczekiwanych oraz ich dynamik. Następnie wykorzystaliśmy je do wyznaczenia rozkładów GKW (Galtchouk-Kunita-Watanabe) które stanowią główny element wyznaczania strategii zebezpieczeń średnio kwadratowych. Ogólne wyniki otrzymane w modelach skokowych dyfuzji zostały zilustrowane przykładami modeli uogólniających znane tzw. wykładnicze modele Levy′ego są to: wykładnicze modele Levy′ego ze stochastyczną zmiennością oraz przełącznikowe wykładnicze modele Levy′ego.

In this paper we solve a problem of finding a risk-minimizing hedging strategy on a general Markovian market with ratings on which prices are influenced by additional factors and rating. The behavior of this system is described by stochastic differential equation (SDE) driven by a Wiener process and a compensated Poisson random measure, and claims depend on rating. We connect the problem of pricing and hedging of contracts described by general cash-flow process solving Cauchy/Dirichlet problems and subsequently with solving some linear system of equations. We illustrate using our theory on two examples of different nature. The first is a general exponential Lévy model with stochastic volatility, and the second is a generalization of exponential Lévy model with regime-switching.