Bounds on sums of random vectors

W niniejszej rozprawie rozważamy kilka problemów dotyczących sum wektorów losowych. Praca składa się z czterech artykułów naukowych. Między innymi, rozwiązujemy tzw. problem S-inequality dla pewnych miar produktowych. Jako wniosek wykazujemy nierówności typu Chinczyna-Kahane'a z optymalnymi stałymi. Ponadto, wyznaczamy optymalne stałe w nierównościach Chinczyna-Kahane'a dla tzw. ultra sub-gaussowskich wektorów losowych. Udowadniamy również pewną nierówność typu FKN na kostce dyskretnej.

In this dissertation we deal with several problems concerning sums of random vectors. Our work consists of four scientific articles. In particular, we solve the so-called S-inequality problem for certain product measures. We deduce the Khinchine-Kahane inequalities with optimal constants. Moreover, we find optimal constants in the Khinchine-Kahane inequalities for the so-called ultra sub-Gaussian random vectors. We also prove a certain FKN-type inequality on the discrete cube.