Partial differential equations on low-dimensional structures

Niniejsza rozprawa dotyczy badania eliptycznych i parabolicznych równań różniczkowych cząstkowych na "cienkich" strukturach. Struktury te są domkniętymi podzbiorami S przestrzeni euklidesowej R 3 o postaci S = ⋃ m i=1 Si , gdzie Si są gładkimi rozmaitościami wymiaru dim Si ∈ {1, 2}. Na strukturze S rozważamy miarę µ oraz stowarzyszoną z nią wiązkę styczną. W tym celu wprowadzamy zbiór Nµ gładkich pól wektorowych o zwartych nośnikach w ∈ C ∞ c (R 3 ; R 3 ) takich, że w = ∇v na supp µ dla pewnej funkcji v ∈ C ∞ c (R 3 ), która znika na supp µ. Przestrzeń styczna Tµ(x) do miary µ w punkcie x jest zadana jako dopełnienie ortogonalne w przestrzeni R 3 zbioru {w(x) ∈ R 3 ∶ w ∈ Nµ}. Gradient odpowiadający mierze µ, oznaczany ∇µ, jest zdefiniowany przez rzut ortogonalny Pµ na wiązkę styczną Tµ. W tym kontekście rozważamy zarówno zagadnienia eliptyczne jak również silne zagadnienia paraboliczne. W tym celu wprowadzamy przestrzeń Sobolewa H1 µ , zdefiniowana jako uzupełnienie C ∞ c (R 3 ) w normie ∥⋅∥µ ∶= (∥ ⋅ ∥ 2 L2 µ + ∥∇µ ⋅ ∥ 2 L2 µ ) 1 2 . Wyko rzystujemy także niskowymiarową teorię Bouchitté’a-Fragàlii. Rozważamy mianowicie przestrzeń par (u, b), gdzie u ∈ H1 µ oraz b jest polem wektorowym Cosserata odgrywającym rolę sztucznej składowej normalnej klasycznego gradientu. W szczególności, wymagane jest aby ∇µu + b ∈ H1 µ . W przestrzeni tej zostają wprowadzone niskowymiarowe odpowied niki klasycznych operatorów drugiego rzędu. Rozważana teoria równań różniczkowych cząstkowych jest zgodna z niskowymiarowymi zagadnieniami wariacyjnymi oraz niskowymi arowymi problemami eliptycznymi słabej postaci. Rozprawa składa się z wyników otrzymanych przez autora w dwóch pracach: • Parabolic PDEs on low-dimensional structures • Higher regularity of solutions to elliptic equations on low-dimensional structures

This thesis pertains to the study of elliptic and parabolic partial differential equations on "thin" structures. These structures are closed sets S embedded in Euclidean space R 3 of the form S = ⋃ m i=1 Si , where Si are smooth manifolds of dimensions dim Si ∈ {1, 2}. In this setting, a singular measure µ with support on S is defined and equipped with a tangent bundle Tµ. The µ-related gradient ∇µ is established by the orthogonal projection Pµ on the tangent bundle Tµ. The Sobolev space H1 µ is defined as a complement of C ∞ c (R 3 ) in the norm ∥ ⋅ ∥µ ∶= (∥ ⋅ ∥ 2 L2 µ + ∥∇µ ⋅ ∥ 2 L2 µ ) 1 2 . Low-dimensional elliptic-type problems of the form ∫Ω Aµ∇µu ⋅ ∇µϕdµ = ∫Ω fϕdµ are con sidered within this setting. For strong-form parabolic problems, a setting based on the Bouchitté-Fraglà framework is proposed. A space of pairs (u, b) is introduced, where u ∈ H1 µ and b is a Cosserat vector field playing the role of an artificial normal component of the classical gradient. Specifically, it is demanded that ∇µu + b ∈ H1 µ . In this space, low-dimensional counterparts of classical second-order operators are introduced. The thesis consists of two papers authored by the researcher: • Parabolic PDEs on low-dimensional structures • Higher regularity of solutions to elliptic equations on low-dimensional structures.