Praca doktorska
Mathematical analysis of obstacle approximation strategies for Incompressible flows
| dc.abstract.en | This dissertation addresses the approximation of a flow around solid obstacles in a fluid governed by the Navier-Stokes equations, with a focus on either stationary or time-dependent cases, in two or three dimensions. The approach is mainly based on modeling the rigid obstacle as a highly viscous fluid. Such a penalization method has potential application in numerical schemes, especially when the obstacle is moving. While formally we recover the original problem when the viscosity inside the obstacle goes to infinity, mathematical analysis of the subject brings in several interesting challenges. In the thesis, we improve regularity results for approximate solutions, specifically targeting pointwise estimates for the gradient of the velocity field. They are crucial for ensuring well-posedness and providing better convergence properties for penalized solutions. First, we consider the approximation of a rigid obstacle for flows governed by the stationary Navier-Stokes system. The main contribution of this result lies in obtaining pointwise estimates for the velocity gradient. In addition, we include evidence that the method may indeed produce a plausible numerical approximation of the flow. Therefore, next we investigate and compare several penalty-based obstacle approximation techniques, in the framework of the steady incompressible Navier-Stokes equations. In addition to the viscosity penalization mentioned above we explore a volume penalization method, as well as a combination of both approaches. We derive convergence rate estimates for all three approaches. Comprehensive numerical experiments have been conducted to evaluate their sharpness and quantitative influence of both penalty parameters on the approximation error. Finally, the last chapter is dedicated to the approximation of the motion of a rigid obstacle in the time-evolutionary Navier-Stokes equations, we establish the existence of weak solutions to the approximate problem, and demonstrate their convergence to the weak solution of the original problem. The main contribution of this part is a tangential regularity result for the velocity. This is the first step in proving a pointwise estimate for the gradient of the velocity. |
| dc.abstract.pl | Niniejsza rozprawa doktorska dotyczy aproksymacji przepływu płynu opisywanego równaniami Naviera-Stokesa wokół zanurzonego w nim ciała stałego, koncentrując się na przypadkach stacjonarnych i zależnych od czasu, w dwóch lub trzech wymiarach przestrzennych. Głównym przedmiotem zainteresowania pracy jest podejście polegające na modelowaniu niepodlegającej odkształceniom przeszkody jako płynu o bardzo dużej lepkości. Metoda ta, oparta na penalizacji, ma również znaczenie w schematach numerycznych, zwłaszcza w przypadku poruszających się przeszkód. Formalnie otrzymujemy oryginalny problem, gdy lepkość wewnątrz przeszkody dąży do nieskończoności, jednak dokładna matematyczna analiza zadania niesie ze sobą wiele interesujących problemów. W pracy uzyskane zostały wyniki dotyczące regularności rozwiązań przybliżonych, w szczególności punktowe oszacowania gradientu pola prędkości. Te ostatnie są kluczowe dla zapewnienia poprawności zagadnienia oraz lepszych własności zbieżności rozwiązań uzyskanych metodą penalizacji. Pierwsza część pracy poświęcona jest aproksymacji sztywnej przeszkody w przepływach opisywanych przez stacjonarny układ Naviera-Stokesa. Głównym wynikiem tej części jest uzyskanie punktowych oszacowań gradientu prędkości. Ponadto, przedstawione zostały wyniki symulacji numerycznych wskazujące, że metoda ta może być podstawą wiarygodnej aproksymacji numerycznej przepływu wokół przeszkody. Następnie badamy i porównujemy kilka opartych na penalizacji technik aproksymacji przeszkód w ramach stacjonarnych, nieściśliwych równań Naviera-Stokesa. Oprócz wspomnianej penalizacji lepkościowej badamy metodę penalizacji objętościowej oraz kombinację obu podejść. Dla wszystkich trzech przypadków wyprowadzamy teoretyczne oszacowania szybkości zbieżności. Analiza uzupełniona została kompleksowymi eksperymentami numerycznymi. Służą one ocenie ostrości otrzymanych oszacowań teoretycznych i ilościowego wpływu parametrów penalizacji na błąd aproksymacji. Ostatni rozdział poświęcony jest aproksymacji problemu opływu ruchomej, sztywnej przeszkody przez płyn, którego dynamika opisana jest układem Naviera-Stokesa zależnym od czasu. Wykazujemy istnienie słabych rozwiązań dla problemu przybliżonego oraz ich zbieżność do słabego rozwiązania oryginalnego problemu. Głównym rezultatem tej części jest wynik dotyczący tak zwanej stycznej regularności pola prędkości, co stanowi pierwszy krok do uzyskania punktowych oszacowań gradientu prędkości. |
| dc.affiliation | Uniwersytet Warszawski |
| dc.affiliation.department | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
| dc.affiliation.institute | Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki |
| dc.contributor.author | Malikova, Sadokat |
| dc.date.accessioned | 2025-04-02T11:11:55Z |
| dc.date.available | 2025-04-02T11:11:55Z |
| dc.date.defence | 2025-04-25 |
| dc.date.issued | 2025-04-02 |
| dc.date.submitted | 2024-11-18 |
| dc.description.promoter | Piasecki, Tomasz |
| dc.description.promoter | Krzyżanowski, Piotr |
| dc.description.reviewer | Kalita, Piotr |
| dc.description.reviewer | Karch, Grzegorz |
| dc.description.reviewer | Nečasová, Šárka |
| dc.description.version | final_author |
| dc.identifier.apd | 230998 |
| dc.identifier.orcid | 0000-0002-3010-7920 |
| dc.identifier.uri | https://repozytorium.uw.edu.pl//handle/item/166264 |
| dc.language | en |
| dc.language.other | pl |
| dc.rights | ClosedAccess |
| dc.subject.en | weak solutions |
| dc.subject.en | incompressible flow |
| dc.subject.en | Navier-Stokes equations |
| dc.subject.en | obstacle |
| dc.subject.en | volume penalization |
| dc.subject.en | viscosity penalization |
| dc.subject.en | tangential regularity |
| dc.subject.en | numerical simulations |
| dc.subject.pl | rozwiązania słabe |
| dc.subject.pl | przepływ nieściśliwy |
| dc.subject.pl | równania Naviera-Stokesa |
| dc.subject.pl | przeszkoda |
| dc.subject.pl | penalizacja objętościowa |
| dc.subject.pl | penalizacja lepkościowa |
| dc.subject.pl | regularność styczna |
| dc.subject.pl | symulacje numeryczne |
| dc.title | Mathematical analysis of obstacle approximation strategies for Incompressible flows |
| dc.title.alternative | Matematyczna analiza metod aproksymacji przeszkody dla przepływów nieściśliwych |
| dc.type | DoctoralThesis |
| dspace.entity.type | Publication |